Консервативные силы. Работа силы тяжести

Рассмотрим пружину жесткости k , находящуюся первона­чально в нерастянутом (свободном) состоянии, которую растягивают на Dх (рис. 20.5) и вычислим работу силы упругости.

По закону Гука сила уп­ругости пропорциональна деформации пружины: , где |Dх | – величина деформации. Причем, сила упругости направлена противоположно деформации пружины, т.е. .

Построим график , где х – величина деформации (см. pиc. 20.5): это – график линейной функции. Угол между и равен 180°, поэтому работа силы упругости будет отрицательной. Эта работа численно равна площади S треугольника ОАВ , но взятой со знаком минус:

. (22.3)

Читатель . Изменится ли результат, если пружину не растянуть, а сжать на расстояние Dх ?

Задача 20.2. Растяжение пружины (общий случай). Пружину жесткостью k = 200 Н/м растянули сначала на Dl 1 = 20 см, а потом еще на Dl 2 = 5,0 см. Какую работу совершили в первом и втором случае?

k = 200 Н/м Dl 1 = 20 см = 0,20 м Dl 2 =5,0 см = 0,050 м
А 1 = ? А 2 = ?
Рис. 20.6

Решение . В данном случае направление силы совпадает с перемещением, поэтому работа положительная. Построим график зависимости силы F , растягивающей пружину, от величины дефор­мации х (рис. 20.6). Работу на участке Dl 1 можно вычис­лить как площадь DА 0В :

Работу на участке Dl 2 можно вычислить как площадь трапеции АВСD , которая, как известно из геометрии, равна произведению полу­суммы оснований на высоту:

.

По графику находим АВ = F 1 = k Dl 1 ; CD = F 2 = k (Dl 1 + Dl 2); ВС = Dl 2 .

Подставим численные значения:

= ×(2×0,20 м + 0,050 м) ×0,050 м »

Ответ: А 1 » 4,0 Дж; A 2 » 2,3 Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: А5, А6, В6, В7, С1.

Задача 20.3 . Груз массы m = 3,0 т поднимается лебедкой с ускорением а = 2,0 м/с 2 . Определить работу, произведенную в первые t = 2,0 с от начала подъема.

3,0×10 3 кг × (9,8 м/с 2 + 2,0 м/с 2)

141600 Дж » 0,14 МДж.

Ответ : » 0,14 МДж.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С2.

Задача 20.4. К лежащему на горизонтальной поверхности брус­ку массы m = 12 кг прикреплена пружина жесткостью k = 300 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью m = 0,40. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины горизонтальную силу , медленно переместили брусок на расстояние s = 0,40 м. Какая работа была при этом совершена силой ? Принять g = 10 м/с 2 .

то брусок будет оставаться на месте, а пру­жина будет растягиваться (рис. 20.8,б ). Следовательно, до момен­та начала движения бруска сила будет совершать работу по растяжению пружины на расстояние Dх .

«Физика - 10 класс»

Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз.

В начальный момент времени тело находилось на высоте hx над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высоте h 2 (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Δ| = h 1 - h 2 .

Направления векторов силы тяжести T и перемещения Δ совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем

А = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис. 5.9). Векторы Т и Δ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |Δ| = h 2 - h 1 . Работу силы тяжести запишем так:

А = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна:

А = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следовательно,

А = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.14)

Это выражение совпадает с выражением (5.12).

Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами h 1 и h 2 над поверхностью Земли.

Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 - h 2 . Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна:

А = mgh 1 - mgh 2 .

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории.

Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа А 1 силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD: А 1 = mg(h 2 - h 1), по траектории DEB: А 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогда суммарная работа А = А 1 + А 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Итак работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами .

Сила тяжести является консервативной силой.

1. Среднее значение силы упругости равно полусумме начального и конечного ее значений.


2. В чем сходство выражений для работы силы упругости и работы силы тяжести?

2. Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит только от начальной и конечной координаты свободного конца, например, пружины (от х 1 до x 2).

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

3. Так как работа силы упругости не зависит от формы траектории, то ее работа в данном случае равна нулю.

4. Может ли обладать потенциальной энергией тело, находящееся в состоянии равновесия?

4. Может, так как потенциальная энергия тела зависит только от его координат, и не зависит от суммы действующих на него сил.

5. Может ли обладать потенциальной энергией тело, на которое не действуют никакие силы?

5. Нет, так как потенциальная энергия равна работе силы при переходе тела из одного его положения в другое, в котором его координаты считаем нулевыми. Если же на тело не действуют никакие силы, то и потенциальная энергия этого тела отсутствует.

6. Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного тела?

6. Потенциальная энергия деформированного тела равна работе силы упругости при переходе тела в состояние, в котором его деформация равна нулю.

Упругой силой называют силу F =-k r , гдеF - упругая сила,к - коэффициент упругости,r - радиус-вектор, определяющий смещение от положения равновесия.

Элементарная работа упругой силы равна F d r =-k r d r = .

Работа на конечном перемещении из точки 1 в точку 2

.

Обратите внимание на то, что в ходе анализа не учитывалась форма траектории, по которой перемещалась частица под действием упругой силы.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа упругой силы равна нулю.

3.1.2. Работа силы тяжести

Вблизи от поверхности Земли сила тяжести практически одинакова во всех точках и равна m g , гдет - масса тела,g - ускорение свободного падения.

Элементарная работа силы тяжести равна F d r = m g d r . Работу на конечном перемещении из точки 1 в точку 2 можно найти, просто суммируя работы на элементарных перемещениях.

Разобьем траекторию на бесконечно малые прямолинейные участки, часть которых параллельна силе тяжести и ускорению свободного падения, а часть им перпендикулярна.

На участках, перпендикулярных силе тяжести, скалярное произведение g d r будет равно нулю. На параллельных же участках скалярное произведениеg d r будет равно произведению модулей этих векторов:gdh (вместоr использован символh , так как координату в вертикальном направлении обычно называют высотой; произведение положительно, поскольку будем полагать, что тело опускалось и направление элементарных перемещений совпадало с направлением ускорения свободного падения). Сумма всехmgdh между точками1 и2 будет равна работе силы тяжести

A 12 =mg(h 1 -h 2).

Заметьте, что на результат анализа не влияет форма траектории, по которой перемещалось тело.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа силы тяжести равна нулю.

З.1.3. РАБОТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Пусть некоторое тело перемещается вдоль прямой из точки 1 в точку 2, а затем обратно в точку 1.

Пусть сила трения скольжения, действующая на тело, во всех точках оди­накова. В этом случае работа на конечном перемещении A =F r .

Сила трения всегда направлена против направления движения, следовательно, угол между силой трения и вектором перемещения равен 180. Поэтому работа как при перемещении из точки 1 в точку 2, так при перемещении из точки 2 в точку 1, будет отрицательна:A 12 =-F r ,A 21 =-F r .

Величина r на участках 12 и 21 одинакова. Следовательно, полная работаА 121 =А 12 +А 21 =-2F r 0.

3.2. Консервативные силы

Работа силы по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 зависит, в общем случае, от формы траектории между точками 1 и 2. Но существуют и такие силы, рабо­та которых не зависит от формы траектории, а определя­ется только положением начальной и конечной точки. В разд. 3.1 было показано, что такое свойство присуще силе тяжести и упругой силе. Такие силы называютсяконсервативными.

Определение консервативной силы можно сформулировать и иначе: сила является консервативной, если её работа на замкнутой траектории равна нулю

.

Консервативны не только сила тяжести и упругая сила. Установлено, что консервативными являются все силы, которые обратно пропорциональны квадрату расстояния между взаимодействующими телами.

Если работа силы на замкнутой траектории не равна нулю, то сила является неконсервативной. В разд. 3.1.3 было показано, что сила трения на замкнутой траектории не равна нулю, следовательно, сила трения неконсервативна.

Консервативные силы возникают при взаимодействии тел как соприкасающихся, так и находящихся на расстоянии друг от друга. Например, брошенный камень не соприкасается с поверхностью Земли, но сила тяжести на него действует.

Взаимодействие несоприкасающихся тел объясняют тем, что каждое тело создаёт вокруг себя поле, с которым взаимодействуют все остальные тела.

Если силы, действующие на тела, находящиеся в поле, консервативны, то поле называют консервативным полем.

Если поле не изменяется с течением времени, его называют стационарным консервативным полем.